【0-1分布的期望和方差公式】在概率论与数理统计中，0-1分布（也称为伯努利分布）是一种非常基础且常见的离散型概率分布。它描述的是一个只有两种可能结果的随机试验，例如“成功”或“失败”，“是”或“否”等。0-1分布的随机变量通常取值为0或1，分别代表两种结果。
为了更好地理解0-1分布的特性，我们可以通过计算其期望和方差来掌握其数学特征。以下是对0-1分布的期望和方差的总结。
一、0-1分布的基本定义
设随机变量 $ X $ 服从0-1分布，记作 $ X \sim B(1, p) $，其中：
- $ p $ 是事件发生的概率（即 $ P(X=1) = p $）
- $ 1 - p $ 是事件不发生的概率（即 $ P(X=0) = 1 - p $）
因此，$ X $ 的概率质量函数为：
$$
P(X = x) =
\begin{cases}
p, & x = 1 \\
1 - p, & x = 0
\end{cases}
$$
二、期望与方差的计算公式
对于服从0-1分布的随机变量 $ X $，其期望和方差分别为：
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 期望（均值） | $ E(X) = p $ | 表示在一次试验中成功的平均概率 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = p(1 - p) $ | 表示随机变量偏离其期望的程度 |
三、实例说明
假设我们进行一次抛硬币试验，正面出现的概率为 $ p = 0.6 $，则：
- 期望：$ E(X) = 0.6 $
- 方差：$ \text{Var}(X) = 0.6 \times (1 - 0.6) = 0.24 $
这表示在多次试验中，平均有60%的机会出现正面，而数据波动程度为0.24。
四、总结
0-1分布是研究二元结果的重要工具，广泛应用于抽样调查、质量控制、金融模型等领域。通过计算其期望和方差，可以更直观地了解随机变量的集中趋势和离散程度。
| 概念 | 公式 | 含义 |
| 期望 | $ E(X) = p $ | 成功的概率 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = p(1 - p) $ | 随机变量的波动性 |
通过这些基本公式，我们可以快速分析和应用0-1分布到实际问题中。
