在数学领域中，二次函数是最基本且重要的函数之一。它通常以标准形式表示为 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \neq 0 \)。当我们讨论二次函数时，一个常见的问题是寻找其最大值或最小值。这不仅在理论研究中有重要意义，而且在实际应用中也极为广泛。
要推导出二次函数的最大值或最小值公式，我们首先需要完成平方的过程。这个方法的核心在于将二次函数转化为顶点形式，即 \( f(x) = a(x-h)^2 + k \)，其中 \( (h, k) \) 是抛物线的顶点坐标。对于开口向上的抛物线（当 \( a > 0 \) 时），顶点代表了函数的最小值；而对于开口向下的抛物线（当 \( a < 0 \) 时），顶点则代表了函数的最大值。
接下来，我们将标准形式转换为顶点形式。通过配方技术，我们可以得到：
\[ f(x) = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]
从这里可以看出，顶点的横坐标 \( h \) 为 \( -\frac{b}{2a} \)，而纵坐标 \( k \) 则为 \( f(h) \)。因此，函数的最大值或最小值可以通过计算 \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) \) 来获得。
具体来说，当 \( a > 0 \) 时，函数在 \( x = -\frac{b}{2a} \) 处取得最小值，该值为：
\[ f_{\text{min}} = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a} \]
反之，当 \( a < 0 \) 时，函数在 \( x = -\frac{b}{2a} \) 处取得最大值，该值同样为：
\[ f_{\text{max}} = c - \frac{b^2}{4a} \]
综上所述，无论抛物线开口方向如何，其最值都可以通过上述公式进行计算。这种方法不仅简洁明了，而且具有很高的实用价值。在解决各种优化问题时，这一结论能够提供快速有效的解决方案。