【求星形线面积,】星形线（Astroid）是一种特殊的平面曲线，其方程为 $ x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} $，其中 $ a $ 是一个正数。该曲线由参数方程表示为：
$$
x = a \cos^3\theta, \quad y = a \sin^3\theta
$$
星形线因其形状类似五角星而得名，具有对称性，并且在数学和工程中有着广泛的应用。
一、星形线的面积计算方法
星形线所围成的区域面积可以通过积分法进行计算。由于星形线具有对称性，可以只计算第一象限的部分，再乘以4得到总面积。
参数方程下的面积公式：
对于参数方程 $ x(\theta) $ 和 $ y(\theta) $，面积公式为：
$$
A = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y(\theta) \cdot x'(\theta) \, d\theta
$$
将参数方程代入：
$$
x = a \cos^3\theta, \quad y = a \sin^3\theta
$$
求导：
$$
x' = -3a \cos^2\theta \sin\theta
$$
代入面积公式：
$$
A = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a \sin^3\theta \cdot (-3a \cos^2\theta \sin\theta) \, d\theta
= -12a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta \, d\theta
$$
由于积分结果为正，可取绝对值：
$$
A = 12a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta \, d\theta
$$
使用三角函数的积分公式或查表，最终可得：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta \, d\theta = \frac{3\pi}{16}
$$
因此：
$$
A = 12a^2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{9\pi a^2}{4}
$$
二、总结与表格
| 项目 | 内容 |
| 星形线方程 | $ x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} $ 或 $ x = a \cos^3\theta, \ y = a \sin^3\theta $ |
| 对称性 | 四象限对称 |
| 面积公式 | $ A = 12a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta \, d\theta $ |
| 积分结果 | $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta \, d\theta = \frac{3\pi}{16} $ |
| 最终面积 | $ A = \frac{9\pi a^2}{4} $ |
三、结论
通过参数方程与积分计算，我们得出星形线所围成的面积为 $ \frac{9\pi a^2}{4} $。这一结果不仅体现了数学的严谨性，也展示了对称性和几何美相结合的魅力。
