在数学中，向量是一个非常重要的概念，它不仅用于描述物理中的力和速度等现象，还广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。为了更好地理解和应用向量，我们需要掌握其基本性质及其在坐标系下的表示方法。

向量的基本定义

首先回顾一下向量的基本定义：一个向量可以被看作是从一个点指向另一个点的有向线段。在二维或三维空间中，我们通常使用坐标来表示一个向量的位置信息。例如，在二维平面上，向量 \(\vec{v}\) 可以用它的起点和终点的坐标来表示为 \((x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)，这里 \((x_1, y_1)\) 是起点坐标，而 \((x_2, y_2)\) 是终点坐标。

坐标表示的意义

通过将向量用坐标形式表示，我们可以方便地进行各种运算，如加法、减法、数乘以及内积等操作。这些运算对于解决实际问题至关重要。

1. 向量加法与减法

设两个向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)，则它们的和 \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\) 的坐标为：

\[

c_1 = a_1 + b_1, \quad c_2 = a_2 + b_2

\]

类似地，差 \(\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}\) 的坐标为：

\[

d_1 = a_1 - b_1, \quad d_2 = a_2 - b_2

\]

2. 数乘运算

给定向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\)，如果将其与标量 \(k\) 相乘，则结果向量 \(\vec{e} = k\vec{a}\) 的坐标为：

\[

e_1 = ka_1, \quad e_2 = ka_2

\]

3. 内积（点积）

两个向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) 的内积定义为：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2

\]

这个值反映了两向量之间的角度关系。当内积为零时，说明这两个向量互相垂直。

向量模长的计算

向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) 的模长（即长度）可以通过以下公式计算得到：

\[

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

\]

这个公式来源于勾股定理的应用。

结论

通过对向量坐标的深入理解，我们可以更加灵活地处理几何问题，并且能够利用代数手段解决复杂的实际问题。以上就是关于向量坐标公式的简单介绍及推导过程。希望读者能够在实践中不断加深对这一概念的认识。