在科学计算、机器学习以及数值分析中，矩阵的特征分解是一项非常常见的操作。通过特征分解，我们可以将一个方阵分解为特征值和对应的特征向量，从而更深入地理解矩阵的结构和性质。在 C++ 中，Eigen 是一个功能强大且易于使用的线性代数库，它提供了对矩阵运算的高效支持，包括特征分解。
本文将介绍如何使用 Eigen 库 实现矩阵的特征分解（Eigendecomposition），并给出一个完整的示例代码，帮助读者快速上手。
一、什么是特征分解？
对于一个 n×n 的实对称矩阵 A，其特征分解可以表示为：
$$
A = Q \Lambda Q^T
$$
其中：
- $ Q $ 是由 A 的单位正交特征向量组成的矩阵；
- $ \Lambda $ 是一个对角矩阵，其对角线元素是 A 的特征值；
- $ Q^T $ 是 Q 的转置矩阵。
这一分解在许多领域都有广泛的应用，例如主成分分析（PCA）、图像处理、信号分析等。
二、Eigen 库简介
Eigen 是一个基于 C++ 模板的线性代数库，支持矩阵、向量、变换等多种数据结构，并提供了丰富的数学函数。它无需编译，直接包含头文件即可使用，非常适合用于高性能计算和科研开发。
要使用 Eigen 进行特征分解，需要引入 `Eigen/Eigenvalues` 模块。
三、使用 Eigen 进行特征分解的步骤
1. 包含必要的头文件
2. 定义矩阵类型
3. 初始化矩阵
4. 调用特征分解函数
5. 获取特征值与特征向量
以下是具体实现代码：
```cpp
include
include
int main() {
// 定义一个 3x3 的实对称矩阵
Eigen::Matrix3d A;
A << 1, 2, 3,
2, 4, 5,
3, 5, 6;
// 创建特征分解对象
Eigen::SelfAdjointEigenSolver
// 获取特征值
Eigen::VectorXd eigenValues = solver.eigenvalues();
// 获取特征向量矩阵
Eigen::Matrix3d eigenVectors = solver.eigenvectors();
// 输出结果
std::cout << "特征值：" << std::endl << eigenValues << std::endl << std::endl;
std::cout << "特征向量矩阵：" << std::endl << eigenVectors << std::endl;
return 0;
}
```
四、代码说明
- `Eigen::SelfAdjointEigenSolver` 是用于对称矩阵特征分解的类。
- `eigenvalues()` 返回一个 `VectorXd` 类型的特征值数组。
- `eigenvectors()` 返回一个 `Matrix3d` 类型的特征向量矩阵，每一列是一个特征向量。
五、注意事项
- Eigen 的特征分解函数只适用于对称矩阵或厄米特矩阵。如果输入的是非对称矩阵，建议使用 `Eigen::EigenSolver`。
- 特征向量默认是单位正交的，适合后续的数值计算。
- 如果你希望对非对称矩阵进行分解，可以使用 `Eigen::EigenSolver` 或 `Eigen::GeneralizedEigenSolver`。
六、总结
使用 Eigen 库进行特征分解是一种高效且简洁的方式。通过简单的几行代码，就可以完成复杂的矩阵运算任务。无论是学术研究还是工程应用，掌握 Eigen 的基本用法都是非常有帮助的。
如果你正在寻找一个轻量级、高效的 C++ 线性代数库，那么 Eigen 绝对是一个值得尝试的选择。
