在高中数学的学习中，三角函数与向量是两个非常重要的章节。它们不仅在高考中占据重要地位，还广泛应用于物理、工程等领域。本篇将围绕这两个章节的重点知识进行梳理和解析，帮助同学们更好地掌握这些核心概念。

一、三角函数的基本性质

1. 定义域与值域

- 正弦函数（sin x）和余弦函数（cos x）的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。

- 正切函数（tan x）的定义域为{x | x ≠ (π/2 + kπ)，k ∈ Z}，值域为R。

2. 周期性

- sin x 和 cos x 的最小正周期为2π。

- tan x 的最小正周期为π。

3. 奇偶性

- sin x 是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。

- cos x 是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。

4. 基本公式

- 同角三角函数关系：sin²x + cos²x = 1。

- 加法公式：sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b。

二、向量的基础概念

1. 向量的表示

- 平面向量可以用坐标形式表示，如\(\vec{a} = (x, y)\)。

- 空间向量则为\(\vec{a} = (x, y, z)\)。

2. 向量的运算

- 加法：\(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)。

- 数乘：k\(\vec{a} = (kx, ky)\)。

3. 向量的模

- 模长公式：|\(\vec{a}\)| = \(\sqrt{x^2 + y^2}\)。

4. 数量积

- 定义：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cosθ\)。

- 几何意义：反映两向量之间的夹角信息。

三、综合应用实例

1. 三角函数的实际问题

- 例如，在解决周期性波动问题时，可以利用正弦或余弦函数来建模。

2. 向量在几何中的应用

- 利用向量证明平行四边形对角线互相平分等几何定理。

通过以上内容的学习，希望同学们能够更加深入地理解三角函数与向量的相关知识，并能在实际解题中灵活运用。记住，理论结合实践才是学习的最佳途径！