在数学中，含有两个绝对值的不等式是一种较为复杂的代数问题，它要求我们综合运用绝对值的定义和不等式的性质来求解。这类问题的核心在于如何正确地处理绝对值符号，将其转化为易于分析的形式。本文将从基本原理出发，结合实例讲解此类不等式的解法。
一、绝对值的基本性质回顾
首先，我们需要明确绝对值的定义：
- 如果 \( x \geqslant 0 \)，则 \( |x| = x \)；
- 如果 \( x < 0 \)，则 \( |x| = -x \)。
此外，绝对值还具有以下重要性质：
1. 非负性：\( |x| \geqslant 0 \)；
2. 对称性：\( |-x| = |x| \)；
3. 三角不等式：\( |a + b| \leqslant |a| + |b| \)。
这些性质是解决含绝对值不等式的基础工具。
二、解法步骤详解
对于形如 \( |A| + |B| > C \) 或 \( |A| - |B| < D \) 的不等式，解题的关键在于找到分界点，并根据分界点划分区间，分别讨论每种情况下的表达式。
1. 确定分界点
分界点是指使绝对值内部等于零的变量取值。例如，在 \( |x - 2| + |x + 3| \leqslant 5 \) 中，分界点为 \( x = 2 \) 和 \( x = -3 \)。这些点将实数轴划分为若干个区间。
2. 在每个区间内去掉绝对值符号
根据分界点的位置，选择适当的正负号替换绝对值符号。例如，在 \( x < -3 \) 区间内，\( |x - 2| = -(x - 2) \)，\( |x + 3| = -(x + 3) \)；而在 \( x > 2 \) 区间内，\( |x - 2| = x - 2 \)，\( |x + 3| = x + 3 \)。
3. 解出每个区间的解集
在去掉绝对值后，对每个区间内的不等式进行常规求解。注意检查所得解是否满足当前区间的条件。
4. 合并所有解集
最终解集是各个区间解集的并集。
三、例题解析
例题：解不等式 \( |x - 1| + |x + 2| \leqslant 5 \)。
第一步：确定分界点
分界点为 \( x = 1 \) 和 \( x = -2 \)，它们将实数轴分为三个区间：\( x < -2 \)、\( -2 \leqslant x < 1 \)、\( x \geqslant 1 \)。
第二步：去掉绝对值符号
- 当 \( x < -2 \) 时，\( |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \)，\( |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2 \)；
- 当 \( -2 \leqslant x < 1 \) 时，\( |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \)，\( |x + 2| = x + 2 \)；
- 当 \( x \geqslant 1 \) 时，\( |x - 1| = x - 1 \)，\( |x + 2| = x + 2 \)。
第三步：解每个区间的不等式
1. 当 \( x < -2 \)：
\[
-x + 1 - x - 2 \leqslant 5 \implies -2x - 1 \leqslant 5 \implies -2x \leqslant 6 \implies x \geqslant -3
\]
结合条件 \( x < -2 \)，得解集为 \( -3 \leqslant x < -2 \)。
2. 当 \( -2 \leqslant x < 1 \)：
\[
-x + 1 + x + 2 \leqslant 5 \implies 3 \leqslant 5
\]
此时不等式恒成立，解集为 \( -2 \leqslant x < 1 \)。
3. 当 \( x \geqslant 1 \)：
\[
x - 1 + x + 2 \leqslant 5 \implies 2x + 1 \leqslant 5 \implies 2x \leqslant 4 \implies x \leqslant 2
\]
结合条件 \( x \geqslant 1 \)，得解集为 \( 1 \leqslant x \leqslant 2 \)。
第四步：合并解集
综合以上结果，解集为 \( [-3, 2] \)。
四、总结
解决含有两个绝对值的不等式，核心在于合理划分区间并正确处理绝对值符号。通过上述方法，我们可以系统化地完成这类问题的求解。希望本文能够帮助读者更好地掌握这一知识点！
