在复变函数理论中，sinz是一个非常重要的基本函数，它在数学分析和物理问题中有广泛的应用。本文将探讨复平面上sinz的绝对值特性及其一些有趣性质。

首先回顾一下sinz的定义：

\[ \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \]

其中\(z = x + iy\)是复数，x和y分别是其实部和虚部。这个定义来源于欧拉公式，并且可以将其扩展到整个复平面。

接下来我们来研究sinz的模长|sinz|。根据定义，我们可以写出：

\[ |\sin z| = \left| \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \right| \]

利用指数函数的性质，我们可以进一步简化得到：

\[ |\sin z| = \frac{|e^{iz} - e^{-iz}|}{2} \]

注意到对于任意复数w，有\( |w|^2 = w \cdot \overline{w} \)，这里\(\overline{w}\)表示w的共轭。因此，

\[ |e^{iz} - e^{-iz}|^2 = (e^{iz} - e^{-iz})(\overline{e^{iz}} - \overline{e^{-iz}})

= |e^{iz}|^2 + |e^{-iz}|^2 - 2\text{Re}(e^{iz}\overline{e^{-iz}})

\]

由于\( |e^{iz}| = e^{-y} \)（因为\( e^{iz} = e^{ix-y} = e^{-y}(\cos x + i\sin x) \)），所以

\[ |e^{iz}|^2 = e^{-2y}, \quad |e^{-iz}|^2 = e^{2y} \]

并且注意到\( e^{iz}\overline{e^{-iz}} = e^{2ix} \)，其实部为\(\cos(2x)\)。因此，

\[ |e^{iz} - e^{-iz}|^2 = e^{-2y} + e^{2y} - 2\cos(2x)

= 2\cosh(2y) - 2\cos(2x)

\]

于是，

\[ |\sin z| = \sqrt{\cosh(2y)^2 - \cos(2x)^2}

\]

这表明sinz的模长取决于z的虚部y和实部x的组合。特别地，当y=0时（即z位于实轴上），我们有

\[ |\sin z| = |\sin x| \]

这与实变函数中的结果一致。此外，当x=0时（即z位于虚轴上），我们有

\[ |\sin z| = \sinh(y) \]

这里\(\sinh(y) = \frac{e^y - e^{-y}}{2}\)是双曲正弦函数。

综上所述，在复平面上sinz的绝对值具有复杂的依赖关系，不仅与z的实部有关，还与其虚部密切相关。这种性质使得sinz成为一个非常有用的工具，在解决各种复变函数相关的问题时发挥重要作用。

通过以上分析可以看出，复变函数中的sinz绝对值的研究有助于深入理解复数域内三角函数的行为模式，同时也揭示了复数运算的独特魅力。