在数学领域中，贝祖等式（Bézout's identity）是一个重要的定理，它描述了两个整数的最大公约数与其线性组合之间的关系。这一等式不仅在理论数学中有广泛应用，而且在实际问题解决中也扮演着关键角色。

假设我们有两个整数a和b，并且它们的最大公约数为d。根据贝祖等式，存在一对整数x和y，使得ax + by = d。这个等式的证明可以通过扩展欧几里得算法来完成。

首先，我们需要了解欧几里得算法是如何工作的。欧几里得算法通过反复应用公式gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，逐步减少问题规模，直到找到最大公约数。在这个过程中，我们可以记录每次迭代的商和余数。

接下来，我们将使用这些记录的信息来构造满足贝祖等式的整数x和y。具体步骤如下：

1. 初始化变量q、r1、r2、s1、s2、t1、t2。

2. 设置r1 = a, r2 = b, s1 = 1, s2 = 0, t1 = 0, t2 = 1。

3. 当r2不为零时执行以下循环：

- 计算商q = r1 / r2。

- 更新r1 = r2, r2 = r1 % r2。

- 更新s1 = s2, s2 = s1 - q s2。

- 更新t1 = t2, t2 = t1 - q t2。

4. 输出结果r1作为最大公约数，以及对应的s1和t1作为满足贝祖等式的系数。

通过这种方法，我们可以有效地找到满足条件的整数x和y，从而证明贝祖等式的真实性。此外，这种算法的时间复杂度为O(log(min(a, b)))，使其成为一种高效的方法。

总之，贝祖等式及其证明方法为我们提供了一种强大的工具，用于解决各种与整数相关的数学问题。无论是理论研究还是实际应用，掌握这一知识都是非常有价值的。