在数学领域中，特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们不仅在理论研究中有广泛应用，而且在实际问题解决中也具有极高的价值。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，以下整理了一些经典的练习题目，供读者们进行自我检测。
一、基础知识回顾
首先，让我们快速回顾一下相关定义：
- 特征值（Eigenvalue）：设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的方阵，若存在非零向量 \( v \)，使得 \( Av = \lambda v \)，则称 \( \lambda \) 为矩阵 \( A \) 的一个特征值，\( v \) 称为对应的特征向量。
- 特征向量（Eigenvector）：满足上述关系式的非零向量 \( v \)。
求解特征值和特征向量的核心步骤包括：
1. 构造特征多项式 \( |A - \lambda I| = 0 \)，其中 \( I \) 表示单位矩阵；
2. 求解特征多项式的根，得到所有可能的特征值；
3. 对每个特征值代入原方程 \( (A - \lambda I)v = 0 \)，求解对应的特征向量。
二、经典例题解析
题目 1
已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)，求其特征值和特征向量。
解答
构造特征多项式：
\[
|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 3.
\]
令 \( \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \)，解得 \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 \)。
对于 \( \lambda_1 = 1 \)，代入 \( (A - \lambda I)v = 0 \)：
\[
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.
\]
化简后得 \( x + y = 0 \)，取 \( x = 1 \)，则 \( y = -1 \)。因此，特征向量为 \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
类似地，对于 \( \lambda_2 = 3 \)，可得特征向量 \( v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
题目 2
设矩阵 \( B = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)，判断其是否可对角化，并写出其特征值和特征向量。
解答
矩阵 \( B \) 已经是对角矩阵，因此可以直接读出特征值为 \( \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 1 \)。对应的特征向量分别为标准基向量：
\[
v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.
\]
显然，矩阵 \( B \) 可以通过特征向量形成对角化矩阵。
三、进阶挑战题
题目 3
给定矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \)，求其特征值和特征向量。
提示
本题需要计算特征多项式 \( |C - \lambda I| \)，并注意可能出现复数解。
题目 4
证明：若矩阵 \( D \) 是对称矩阵，则其所有特征值均为实数。
提示
利用内积性质和对称性推导。
四、总结与思考
通过以上练习题，我们复习了如何求解特征值和特征向量的基本方法，同时也接触到了一些更复杂的扩展问题。希望这些题目能够加深你对这一知识点的理解，并在后续的学习中灵活运用。
如果你还有其他疑问或需要进一步探讨，请随时提出！
