在数学分析中，换元积分法是一种重要的技巧，用于简化复杂的定积分或不定积分问题。通过适当的变量替换，可以将原函数转化为更容易处理的形式，从而更高效地求解结果。本节将结合一些典型例题，帮助大家更好地掌握这一方法。

例题一：基本形式的换元积分

计算不定积分 \(\int x\sqrt{x+1} dx\)。

解析

令 \(u = x + 1\)，则 \(x = u - 1\)，且 \(dx = du\)。代入后得到：

\[

\int x\sqrt{x+1} dx = \int (u-1)\sqrt{u} du = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) du

\]

继续分解并逐项积分：

\[

\int u^{3/2} du = \frac{2}{5}u^{5/2}, \quad \int u^{1/2} du = \frac{2}{3}u^{3/2}

\]

因此，最终结果为：

\[

\int x\sqrt{x+1} dx = \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C

\]

例题二：三角函数的换元积分

计算不定积分 \(\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx\)。

解析

注意到分母的形式类似于三角恒等式 \(1-\sin^2\theta = \cos^2\theta\)，因此设 \(x = 3\sin\theta\)，则 \(dx = 3\cos\theta d\theta\)，且 \(\sqrt{9-x^2} = 3\cos\theta\)。代入后：

\[

\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int \frac{3\cos\theta}{3\cos\theta} d\theta = \int d\theta = \theta + C

\]

由于 \(x = 3\sin\theta\)，可得 \(\theta = \arcsin(x/3)\)，最终答案为：

\[

\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C

\]

例题三：指数与对数的混合形式

计算不定积分 \(\int e^{2x} \ln(e^x + 1) dx\)。

解析

令 \(u = e^x + 1\)，则 \(du = e^x dx\)，且 \(e^{2x} = u(u-1)\)。代入后：

\[

\int e^{2x} \ln(e^x + 1) dx = \int (u-1)\ln(u) du

\]

将其拆分为两部分：

\[

\int (u-1)\ln(u) du = \int u\ln(u) du - \int \ln(u) du

\]

利用分部积分法分别计算这两项，即可得到最终结果。

以上三个例题展示了换元积分法在不同场景下的应用。通过合理选择变量替换，可以使复杂的积分问题变得简单明了。希望这些练习能够加深你对该方法的理解和运用能力！