在数学分析中，麦克劳林公式是一种非常重要的工具，它将函数展开为幂级数的形式，从而便于我们研究函数的性质和计算近似值。麦克劳林公式是泰勒公式的特例，其形式简单且应用广泛。以下是10个常用的麦克劳林公式及其推导过程：

1. 指数函数 $ e^x $

$$

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

$$

通过计算 $ e^x $ 的各阶导数并代入 $ x = 0 $，可以得到该公式。

2. 正弦函数 $ \sin x $

$$

\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

$$

正弦函数的奇函数特性决定了其展开式只包含奇次幂项。

3. 余弦函数 $ \cos x $

$$

\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

$$

余弦函数的偶函数特性决定了其展开式只包含偶次幂项。

4. 自然对数函数 $ \ln(1+x) $

$$

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad |x| < 1

$$

通过逐项积分 $ \frac{1}{1+x} $ 的几何级数展开式可得。

5. 幂函数 $ (1+x)^a $

$$

(1+x)^a = \sum_{n=0}^\infty \binom{a}{n} x^n = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots, \quad |x| < 1

$$

其中 $\binom{a}{n}$ 表示广义二项式系数。

6. 反正切函数 $ \arctan x $

$$

\arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots, \quad |x| \leq 1

$$

通过逐项积分 $ \frac{1}{1+x^2} $ 的几何级数展开式可得。

7. 双曲正弦函数 $ \sinh x $

$$

\sinh x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots

$$

双曲正弦函数与指数函数密切相关，其展开式仅包含奇次幂项。

8. 双曲余弦函数 $ \cosh x $

$$

\cosh x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots

$$

双曲余弦函数的展开式仅包含偶次幂项。

9. $ \frac{1}{1-x} $

$$

\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1

$$

这是最基础的几何级数展开式。

10. $ \sqrt{1+x} $

$$

\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \binom{\frac{1}{2}}{n} x^n = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \cdots, \quad |x| < 1

$$

利用广义二项式定理展开。

以上10个公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。掌握这些公式不仅能够帮助我们快速求解复杂问题，还能加深对函数性质的理解。希望本文对你有所帮助！