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数列练习题 附答案

2025-05-31 08:17:08

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数列练习题 附答案,在线求解答

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2025-05-31 08:17:08

在数学学习中,数列是一个重要的概念,它不仅出现在中学教材中,也是高等数学的基础之一。通过解决数列相关的问题,我们可以更好地理解数学规律和逻辑推理能力。以下是几道数列练习题及其详细解答,希望对大家的学习有所帮助。

一、基础题

题目1: 已知数列{a_n}的通项公式为 \(a_n = 3n + 2\),求该数列的前5项。

解答:

将 \(n = 1, 2, 3, 4, 5\) 分别代入公式 \(a_n = 3n + 2\):

- 当 \(n = 1\) 时,\(a_1 = 3 \times 1 + 2 = 5\)

- 当 \(n = 2\) 时,\(a_2 = 3 \times 2 + 2 = 8\)

- 当 \(n = 3\) 时,\(a_3 = 3 \times 3 + 2 = 11\)

- 当 \(n = 4\) 时,\(a_4 = 3 \times 4 + 2 = 14\)

- 当 \(n = 5\) 时,\(a_5 = 3 \times 5 + 2 = 17\)

因此,该数列的前5项为:\[5, 8, 11, 14, 17\]

题目2: 求等差数列 \(3, 7, 11, \dots\) 的第10项。

解答:

等差数列的通项公式为 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\),其中 \(a_1\) 是首项,\(d\) 是公差。

已知首项 \(a_1 = 3\),公差 \(d = 4\)。将 \(n = 10\) 代入公式:

\[a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 4 = 3 + 36 = 39\]

因此,该数列的第10项为:\[39\]

二、提高题

题目3: 已知数列{b_n}满足递推关系式 \(b_{n+1} = 2b_n + 1\),且 \(b_1 = 1\),求数列的前4项。

解答:

根据递推关系式 \(b_{n+1} = 2b_n + 1\) 和初始条件 \(b_1 = 1\),依次计算:

- 当 \(n = 1\) 时,\(b_2 = 2 \times b_1 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3\)

- 当 \(n = 2\) 时,\(b_3 = 2 \times b_2 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7\)

- 当 \(n = 3\) 时,\(b_4 = 2 \times b_3 + 1 = 2 \times 7 + 1 = 15\)

- 当 \(n = 4\) 时,\(b_5 = 2 \times b_4 + 1 = 2 \times 15 + 1 = 31\)

因此,该数列的前4项为:\[1, 3, 7, 15\]

题目4: 已知等比数列 {c_n} 的首项 \(c_1 = 2\),公比 \(q = 3\),求该数列的前4项。

解答:

等比数列的通项公式为 \(c_n = c_1 \cdot q^{n-1}\),其中 \(c_1\) 是首项,\(q\) 是公比。

已知 \(c_1 = 2\),\(q = 3\)。将 \(n = 1, 2, 3, 4\) 代入公式:

- 当 \(n = 1\) 时,\(c_1 = 2 \times 3^0 = 2\)

- 当 \(n = 2\) 时,\(c_2 = 2 \times 3^1 = 6\)

- 当 \(n = 3\) 时,\(c_3 = 2 \times 3^2 = 18\)

- 当 \(n = 4\) 时,\(c_4 = 2 \times 3^3 = 54\)

因此,该数列的前4项为:\[2, 6, 18, 54\]

三、综合题

题目5: 已知数列{d_n}的前n项和 \(S_n = n^2 + 3n\),求该数列的通项公式。

解答:

根据数列前n项和公式 \(S_n = n^2 + 3n\),数列的通项公式可以通过以下公式计算:

\[a_n = S_n - S_{n-1}\]

当 \(n \geq 2\) 时:

\[S_{n-1} = (n-1)^2 + 3(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 3n - 3 = n^2 + n - 2\]

因此:

\[a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 3n) - (n^2 + n - 2) = 2n + 2\]

当 \(n = 1\) 时,验证:

\[a_1 = S_1 = 1^2 + 3 \times 1 = 4\]

与 \(a_1 = 2 \times 1 + 2 = 4\) 一致。

综上所述,该数列的通项公式为:\[a_n = 2n + 2\]

以上是几道典型的数列练习题及解答,希望大家能够通过这些题目加深对数列的理解,并灵活运用到实际问题中。如果还有其他疑问,欢迎随时交流探讨!

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