在数学分析中，莱布尼茨公式是一个非常重要的工具，它用于求解两个函数乘积的高阶导数。这个公式的名字来源于著名的德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）。莱布尼茨公式不仅在理论研究中有广泛的应用，而且在实际问题中也经常被使用。
莱布尼茨公式的表述
假设 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 是关于 \( x \) 的可导函数，那么它们的乘积 \( u(x)v(x) \) 的 \( n \) 阶导数可以表示为：
\[
\frac{d^n}{dx^n}[u(x)v(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^k}{dx^k}[u(x)] \cdot \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}[v(x)]
\]
其中，\( \binom{n}{k} \) 是二项式系数，定义为：
\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
详细证明
为了证明上述公式，我们采用数学归纳法。
基础步骤
当 \( n = 1 \) 时，根据乘积法则：
\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
这正好与公式中的 \( k = 0 \) 和 \( k = 1 \) 的两项相匹配，因此基础步骤成立。
归纳假设
假设对于任意正整数 \( n = m \)，公式成立，即：
\[
\frac{d^m}{dx^m}[u(x)v(x)] = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} \frac{d^k}{dx^k}[u(x)] \cdot \frac{d^{m-k}}{dx^{m-k}}[v(x)]
\]
归纳步骤
我们需要证明当 \( n = m+1 \) 时，公式仍然成立。考虑 \( \frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}[u(x)v(x)] \)，我们可以将其写为：
\[
\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}[u(x)v(x)] = \frac{d}{dx}\left( \frac{d^m}{dx^m}[u(x)v(x)] \right)
\]
根据归纳假设，代入 \( \frac{d^m}{dx^m}[u(x)v(x)] \) 的表达式：
\[
\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}[u(x)v(x)] = \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} \frac{d^k}{dx^k}[u(x)] \cdot \frac{d^{m-k}}{dx^{m-k}}[v(x)] \right)
\]
利用导数的线性性质和乘积法则，对每一项进行求导：
\[
\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}[u(x)v(x)] = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} \left( \frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}[u(x)] \cdot \frac{d^{m-k}}{dx^{m-k}}[v(x)] + \frac{d^k}{dx^k}[u(x)] \cdot \frac{d^{m-k+1}}{dx^{m-k+1}}[v(x)] \right)
\]
重新整理后，得到：
\[
\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}[u(x)v(x)] = \sum_{k=0}^{m+1} \binom{m}{k-1} \frac{d^k}{dx^k}[u(x)] \cdot \frac{d^{m+1-k}}{dx^{m+1-k}}[v(x)]
\]
注意到 \( \binom{m}{k-1} + \binom{m}{k} = \binom{m+1}{k} \)，因此最终结果为：
\[
\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}[u(x)v(x)] = \sum_{k=0}^{m+1} \binom{m+1}{k} \frac{d^k}{dx^k}[u(x)] \cdot \frac{d^{m+1-k}}{dx^{m+1-k}}[v(x)]
\]
这就完成了归纳步骤。
结论
通过数学归纳法，我们证明了莱布尼茨公式对于所有正整数 \( n \) 都成立。这一公式在微积分学中具有广泛的应用，特别是在处理复杂的导数计算时显得尤为有用。
希望这篇详细的证明能够帮助你更好地理解莱布尼茨公式及其背后的数学原理。
