柯西-施瓦茨不等式的表述可以如下：对于一个内积空间中的任意两个向量 \( u \) 和 \( v \)，有

\[

|\langle u, v \rangle|^2 \leq \langle u, u \rangle \cdot \langle v, v \rangle

\]

其中，\( \langle u, v \rangle \) 表示向量 \( u \) 和 \( v \) 的内积。当且仅当 \( u \) 和 \( v \) 线性相关时，等号成立。

这一不等式的名字来源于两位著名的数学家——奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和赫尔曼·阿曼德·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz）。尽管它主要以他们的名字命名，但它的发现和发展经历了多位数学家的贡献。

柯西最早在他的研究中提出了类似的结果，而施瓦茨则进一步完善了这一理论，并将其推广到更广泛的数学背景中。因此，这一不等式有时也被称作柯西不等式或者施瓦茨不等式。

在实际应用中，柯西-施瓦茨不等式经常用于证明其他不等式、解决优化问题以及评估函数之间的相似性。例如，在信号处理中，它被用来比较两个信号的相关程度；在量子力学中，它用于描述态矢量之间的关系。

总之，柯西-施瓦茨不等式不仅是数学理论的重要组成部分，也是连接理论与实践的一座桥梁，其影响力贯穿于现代科学和技术的多个方面。