在高中数学的学习中，空间向量与立体几何是重要的知识点之一。这部分内容不仅要求学生掌握基本的概念和公式，还需要灵活运用这些知识解决实际问题。本文将通过一系列精选的测试题以及详细的解答过程，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

一、基础知识回顾

首先，让我们回顾一下空间向量的基本概念：

- 空间向量：具有大小和方向的量，通常表示为$\vec{a} = (x, y, z)$。

- 向量运算：

- 加法：$\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$

- 减法：$\vec{a} - \vec{b} = (x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2)$

- 数乘：$k\vec{a} = (kx, ky, kz)$

- 点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

接下来，我们来看一些具体的题目。

二、测试题

题目1

已知空间向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 0, 1)$，求$\vec{a} + \vec{b}$。

解析

根据向量加法的定义，$\vec{a} + \vec{b} = (1+(-1), 2+0, 3+1) = (0, 2, 4)$。

答案

$\boxed{(0, 2, 4)}$

题目2

已知$\vec{a} = (2, -1, 3)$，$\vec{b} = (1, 2, -1)$，计算$\vec{a} \cdot \vec{b}$。

解析

利用点积公式，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 + 3 \times (-1) = 2 - 2 - 3 = -3$。

答案

$\boxed{-3}$

题目3

已知平面方程为$x + 2y - z = 5$，判断点$(1, 2, 3)$是否在该平面上。

解析

将点的坐标代入平面方程，检查等式是否成立。代入后得到$1 + 2 \times 2 - 3 = 1 + 4 - 3 = 2$，显然不等于5，因此点不在平面上。

答案

$\boxed{\text{否}}$

三、总结

通过以上几道题目，我们可以看到，空间向量与立体几何的问题虽然形式多样，但只要掌握了基本的概念和运算规则，就能轻松应对。希望同学们能够通过练习进一步巩固所学知识，并在考试中取得好成绩。

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