p级数（形如∑1/n^p）的收敛性判断核心是：当p>1时，p级数收敛；当p≤1时，p级数发散。 这是判别p级数敛散性的基本定理，可通过积分判别法或比较判别法严格证明。例如，p=2时级数收敛于π²/6，而p=1时为调和级数，发散；p<1时发散速度更快。记忆要点：p大于1则收敛，等于或小于1则发散。
【常见问题】
问题1：p级数中p大于1为什么收敛？
回答1：p级数∑1/n^p当p>1时，通过积分判别法可知∫₁^∞ 1/x^p dx收敛，因此p级数收敛。p值越大，级数收敛速度越快。
问题2：p级数在p=1时发散，如何证明？
回答2：p=1时p级数即为调和级数，其部分和趋于无穷。常用比较法：将1/n与∫_n^{n+1} 1/x dx比较，得到部分和趋于无穷，从而证明p级数发散。
问题3：p级数收敛性判断是否适用于所有实数p？
回答3：是的，p级数收敛性判断适用于所有实数p。p>1时收敛，p≤1时发散。例如p=0时级数∑1发散，p=-1时级数∑n发散，均符合p≤1发散的结论。