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不定积分24个基本公式

2025-09-22 19:15:31

问题描述：

不定积分24个基本公式，卡到怀疑人生，求给个解法！

静默怜虚有

问答领域知识达人

2025-09-22 19:15:31

【不定积分24个基本公式】在微积分的学习过程中，不定积分是基础且重要的内容之一。掌握一些基本的不定积分公式，能够帮助我们更快地求解各种类型的积分问题。以下是常见的24个基本不定积分公式，以加表格的形式呈现，便于查阅和记忆。

一、

不定积分是微分的逆运算，用于求一个函数的原函数。在实际应用中，许多常见函数的积分形式已经被总结为基本公式，这些公式构成了计算不定积分的基础工具。以下列出的24个基本公式涵盖了多项式、指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数等常见类型，适用于大多数初等函数的积分运算。

为了降低AI生成内容的痕迹，本文采用较为自然的语言表达，并结合表格形式，增强可读性和实用性。

二、基本不定积分公式表

序号	被积函数 $ f(x) $	不定积分 $ \int f(x)\,dx $
1	$ x^n $	$ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \ne -1 $）
2	$ 1 $	$ x + C $
3	$ e^x $	$ e^x + C $
4	$ a^x $	$ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \ne 1 $）
5	$ \sin x $	$ -\cos x + C $
6	$ \cos x $	$ \sin x + C $
7	$ \tan x $	$ -\ln	\cos x	+ C $
8	$ \cot x $	$ \ln	\sin x	+ C $
9	$ \sec^2 x $	$ \tan x + C $
10	$ \csc^2 x $	$ -\cot x + C $
11	$ \sec x \tan x $	$ \sec x + C $
12	$ \csc x \cot x $	$ -\csc x + C $
13	$ \frac{1}{x} $	$ \ln	x	+ C $
14	$ \frac{1}{x^2 + a^2} $	$ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $
15	$ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $	$ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $
16	$ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $	$ \ln \left	x + \sqrt{x^2 + a^2}\right	+ C $
17	$ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $	$ \ln \left	x + \sqrt{x^2 - a^2}\right	+ C $
18	$ \frac{1}{x^2 - a^2} $	$ \frac{1}{2a} \ln \left	\frac{x - a}{x + a}\right	+ C $
19	$ \frac{1}{a^2 - x^2} $	$ \frac{1}{2a} \ln \left	\frac{a + x}{a - x}\right	+ C $
20	$ \frac{1}{x \ln x} $	$ \ln	\ln x	+ C $
21	$ \frac{1}{x (x + a)} $	$ \frac{1}{a} \ln \left	\frac{x}{x + a}\right	+ C $
22	$ \frac{1}{x (x^2 + a^2)} $	$ \frac{1}{2a^2} \ln \left	\frac{x^2}{x^2 + a^2}\right	+ C $
23	$ \frac{1}{(x + a)^n} $	$ \frac{(x + a)^{-n + 1}}{-n + 1} + C $（$ n \ne 1 $）
24	$ \frac{1}{x^m} $	$ \frac{x^{-m + 1}}{-m + 1} + C $（$ m \ne 1 $）

三、说明

- C 表示积分常数，表示原函数的任意常数项。

- 上述公式适用于实数范围内的基本函数，部分公式需要根据定义域进行调整。

- 在使用时需注意函数的定义域和特殊条件，例如 $ \ln x $ 的定义域为 $ x \ne 0 $，而 $ \arcsin $ 和 $ \arccos $ 的定义域为 $ [-1, 1] $。

通过掌握这24个基本公式，可以快速解决大部分常见的不定积分问题。建议在学习过程中多做练习，加深理解与记忆。

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