【怎样用分部积分法求积分】在微积分的学习中，分部积分法是一种非常重要的积分技巧，尤其适用于被积函数为两个不同类型的函数相乘的情况。分部积分法的原理来源于乘积法则的逆运算，其基本公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
使用分部积分法的关键在于合理地选择 $u$ 和 $dv$，使得计算更加简便。以下是对该方法的总结与常见类型分析。
一、分部积分法的基本步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 识别被积函数，确定是否适合使用分部积分法 |
| 2 | 选择 $u$ 和 $dv$：通常选择易于求导的函数作为 $u$，而将剩下的部分作为 $dv$ |
| 3 | 计算 $du$ 和 $v$：即对 $u$ 求导，对 $dv$ 积分 |
| 4 | 应用公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ |
| 5 | 化简结果，必要时重复使用分部积分法 |
二、常见函数类型与选择策略（表格）
| 被积函数形式 | 推荐选择 $u$ | 推荐选择 $dv$ | 备注 |
| 多项式 × 指数函数 | 多项式 | 指数函数 | 多项式降次，指数函数不变 |
| 多项式 × 对数函数 | 对数函数 | 多项式 | 对数函数求导后变为有理式 |
| 指数函数 × 三角函数 | 指数函数或三角函数 | 另一个函数 | 可能需要多次分部积分 |
| 三角函数 × 三角函数 | 任选其一 | 另一个函数 | 可能出现循环积分 |
| 多项式 × 三角函数 | 多项式 | 三角函数 | 同样适用多项式降次策略 |
三、示例解析
例1：$\int x e^x dx$
- 选择 $u = x$, $dv = e^x dx$
- 则 $du = dx$, $v = e^x$
- 应用公式：$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$
例2：$\int x \ln x dx$
- 选择 $u = \ln x$, $dv = x dx$
- 则 $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$
- 应用公式：$\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$
四、注意事项
- 选择不当会导致更复杂的积分，因此需多练习，熟悉各种函数的导数和积分形式。
- 有些问题可能需要多次应用分部积分法，例如涉及三角函数和指数函数的组合。
- 如果出现循环积分，可设原积分为 $I$，通过代数方法解出 $I$。
五、总结
分部积分法是处理乘积型积分的重要工具，关键在于合理选择 $u$ 和 $dv$。通过不断练习和积累经验，可以更快地判断何时使用该方法以及如何高效地进行计算。掌握好这一技巧，将大大提升解决复杂积分问题的能力。