【高中数学不等式公式总结】在高中数学中，不等式是一个重要的知识点，涉及多个方面的内容，包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式以及基本不等式等。掌握这些不等式的性质和解法，对于提高数学成绩和解决实际问题具有重要意义。以下是对高中数学中常见不等式公式的系统总结。
一、不等式的基本性质
| 不等式性质 | 内容说明 |
| 1. 对称性 | 若 $ a > b $，则 $ b < a $；若 $ a < b $，则 $ b > a $ |
| 2. 传递性 | 若 $ a > b $ 且 $ b > c $，则 $ a > c $ |
| 3. 加法性质 | 若 $ a > b $，则 $ a + c > b + c $ |
| 4. 乘法性质 | 若 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac > bc $；若 $ c < 0 $，则 $ ac < bc $ |
| 5. 平方性质 | 若 $ a > b \geq 0 $，则 $ a^2 > b^2 $ |
二、一元一次不等式
一元一次不等式的一般形式为：
$$ ax + b > 0 \quad (a \neq 0) $$
解法步骤：
1. 移项，将常数项移到右边；
2. 化简系数为1；
3. 根据系数的正负判断不等号方向是否改变。
示例：
解不等式 $ 2x - 5 > 3 $
解：$ 2x > 8 $ → $ x > 4 $
三、一元二次不等式
一元二次不等式的一般形式为：
$$ ax^2 + bx + c > 0 \quad (a \neq 0) $$
解法步骤：
1. 求出对应的二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根；
2. 根据判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ 判断根的情况；
3. 结合抛物线开口方向（由 $ a $ 的符号决定）确定不等式的解集。
表格：不同情况下的解集
| 判别式 Δ | 根的情况 | 解集（当 a > 0 时） |
| Δ > 0 | 两个不同实根 | $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $ |
| Δ = 0 | 一个实根 | $ x \neq x_1 $ |
| Δ < 0 | 无实根 | 全体实数 |
四、绝对值不等式
基本形式：
- $
- $
应用举例：
解不等式 $
解：$ -5 < 2x - 3 < 5 $
→ $ -2 < 2x < 8 $
→ $ -1 < x < 4 $
五、分式不等式
分式不等式的一般形式为：
$$ \frac{f(x)}{g(x)} > 0 \quad (g(x) \neq 0) $$
解法步骤：
1. 找出分子和分母的零点；
2. 将数轴划分为若干区间；
3. 在每个区间内判断分式的符号；
4. 综合得出不等式的解集。
示例：
解不等式 $ \frac{x - 1}{x + 2} > 0 $
解：分子为0时 $ x = 1 $，分母为0时 $ x = -2 $
区间划分：$ (-\infty, -2) $、$ (-2, 1) $、$ (1, +\infty) $
测试各区间符号，得解集为：$ x < -2 $ 或 $ x > 1 $
六、基本不等式（均值不等式）
常用公式：
- 算术平均 ≥ 几何平均
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad (a, b \geq 0)
$$
- 柯西不等式（二维形式）
$$
(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2
$$
- 三角不等式
$$
$$
七、不等式组的解法
不等式组是多个不等式同时成立的情况，解法为分别求出各个不等式的解集，再取它们的交集。
示例：
解不等式组
$$
\begin{cases}
2x + 1 > 3 \\
x - 4 < 0
\end{cases}
$$
解：
第一个不等式：$ x > 1 $
第二个不等式：$ x < 4 $
解集为：$ 1 < x < 4 $
总结
不等式是高中数学的重要组成部分，掌握其基本性质和解法，有助于提升逻辑思维能力和数学应用能力。通过不断练习和总结，可以更加熟练地应对各种不等式问题。
希望本文对你的学习有所帮助！