【不定定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是求导的逆运算，用于寻找一个函数的原函数。掌握常见的不定积分公式对于解决数学问题、物理模型以及工程计算都具有重要意义。以下是对常见不定积分公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本不定积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 备注 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ (n ≠ -1) | n 为任意实数 | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数的积分仍为自身 | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ (a > 0, a ≠ 1) | 底数为常数的指数函数 | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 注意绝对值符号 |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 三角函数的积分 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 三角函数的积分 | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ | 可用换元法推导 |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ | 与 tan 类似 |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 常见的三角积分 | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 与 sec² 对应 |
二、常见代数函数的积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 备注 | ||
| $ \sqrt{x} $ | $ \frac{2}{3}x^{3/2} + C $ | 幂函数的特殊情况 | ||
| $ \frac{1}{x^2} $ | $ -\frac{1}{x} + C $ | 可看作 $ x^{-2} $ 的积分 | ||
| $ \frac{1}{ax + b} $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ | 线性分式函数的积分 |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 与反正切有关 | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ | 分式分解后积分 |
三、三角函数的扩展积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 备注 | ||
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ | 需特殊技巧 |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ | 与 sec 相似 |
| $ \sin^2 x $ | $ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | 使用降幂公式 | ||
| $ \cos^2 x $ | $ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | 同上方法 | ||
| $ \sin^n x $ | 需根据 n 的奇偶性使用递归或降幂公式 | 复杂情况需分步处理 |
四、反三角函数的积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 备注 |
| $ \arcsin x $ | $ x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C $ | 分部积分法 |
| $ \arccos x $ | $ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C $ | 与 arcsin 类似 |
| $ \arctan x $ | $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ | 分部积分法 |
五、一些特殊函数的积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 备注 | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ | 标准反三角函数 | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 + a^2}\right | + C $ | 双曲函数相关 |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ | 注意定义域 |
六、总结
不定积分是微积分中的基础内容，熟练掌握各类函数的积分公式有助于提高解题效率。虽然有些积分需要借助换元法、分部积分等技巧，但基本的公式是学习和应用的基础。建议结合练习题反复巩固，同时注意积分常数 $ C $ 的重要性，它表示所有可能的原函数之间的差异。
通过以上表格，可以快速查阅各种常见函数的不定积分结果，帮助理解和记忆。希望这份总结能对你的学习有所帮助。