【高三数学一轮复习导数的概念与运算导学案理】一、学习目标：
1. 理解导数的定义及其几何意义，掌握导数的物理意义；
2. 熟练掌握基本初等函数的导数公式；
3. 能够运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导；
4. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提升逻辑思维和数学表达能力。
二、重点与难点：
- 重点：导数的定义、导数的几何意义、基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则。
- 难点：导数的实际应用、导数与函数单调性之间的关系、复合函数的求导方法。
三、知识梳理：
1. 导数的定义
设函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处有定义，若极限
$$
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$
存在，则称该极限为函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的导数，记作 $ f'(x_0) $ 或 $ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0} $。
2. 导数的几何意义
函数 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0, f(x_0)) $ 处的导数 $ f'(x_0) $ 表示该点处切线的斜率。即：
$$
k = f'(x_0)
$$
3. 导数的物理意义
若 $ s(t) $ 表示物体的位移关于时间的函数，则 $ s'(t) $ 表示物体在时刻 $ t $ 的瞬时速度；若 $ v(t) $ 表示速度函数，则 $ v'(t) $ 表示加速度。
4. 基本初等函数的导数
| 函数 | 导数 |
|------|------|
| $ y = C $（常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $ | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = a^x $ | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = \log_a x $ | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
5. 导数的四则运算法则
若 $ u(x) $、$ v(x) $ 均可导，则：
- 加法法则：$ [u(x) + v(x)]' = u'(x) + v'(x) $
- 减法法则：$ [u(x) - v(x)]' = u'(x) - v'(x) $
- 乘法法则：$ [u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $
- 除法法则：$ \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $
6. 复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
四、典型例题解析：
例题1：求函数 $ y = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 $ 的导数。
解：
$$
y' = 3x^2 + 4x - 5
$$
例题2：已知 $ y = \sin(2x) $，求导数。
解：
令 $ u = 2x $，则 $ y = \sin u $，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos(2x)
$$
例题3：设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $，求 $ f'(x) $。
解：
利用商的求导法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2}
$$
化简得：
$$
f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
$$
五、课堂练习：
1. 求下列函数的导数：
a) $ y = \ln(3x + 2) $
b) $ y = \sqrt{x^2 + 1} $
c) $ y = (2x + 1)^3 $
2. 已知 $ f(x) = x \cdot \cos x $，求 $ f'(x) $。
六、课后作业：
1. 教材第 12 页习题 1～5 题。
2. 完成《导数的概念与运算》专项训练题 1～10 题。
七、小结：
本节内容围绕导数的基本概念、计算方法及实际应用展开，通过系统学习，我们不仅掌握了导数的定义与计算技巧，还初步了解了导数在研究函数性质中的重要作用。希望同学们能够结合例题反复练习，提高对导数的理解与应用能力。
备注：本导学案适用于高三一轮复习阶段，旨在帮助学生夯实基础，为后续学习导数的应用（如单调性、极值、最值等）做好准备。