【正比例函数ppt课件.ppt】 正比例函数
一、什么是正比例函数？
在数学中，正比例函数是一种常见的函数类型，它描述了两个变量之间的一种特殊关系。如果一个变量随着另一个变量的增加而以固定的比例增加，那么它们之间的关系就可以用正比例函数来表示。
例如：
- 小明每小时走5公里，那么他走的时间与路程之间的关系就是正比例关系。
- 购买苹果的价格与重量之间的关系也是正比例关系。
二、正比例函数的定义
正比例函数的一般形式为：
$$
y = kx
$$
其中：
- $ x $ 是自变量；
- $ y $ 是因变量；
- $ k $ 是一个不等于0的常数，称为比例系数。
关键点：
- 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0 $，即图像经过原点；
- $ k > 0 $ 时，函数值随 $ x $ 增大而增大；
- $ k < 0 $ 时，函数值随 $ x $ 增大而减小。
三、正比例函数的图象
正比例函数的图像是一条经过原点的直线，斜率为 $ k $。
图像特征：
- 直线过原点（0,0）；
- 斜率 $ k $ 决定了直线的倾斜程度和方向；
- 若 $ k > 0 $，图像从左下向右上延伸；
- 若 $ k < 0 $，图像从左上向右下延伸。
四、正比例函数的应用
正比例函数在现实生活中有广泛的应用，例如：
1. 速度与时间的关系：
在匀速运动中，路程 $ s $ 与时间 $ t $ 的关系为 $ s = vt $，其中 $ v $ 是速度，是一个常数。
2. 价格与数量的关系：
如果单价固定，总价 $ C $ 与购买数量 $ n $ 的关系是 $ C = pn $，其中 $ p $ 是单价。
3. 温度转换：
摄氏温度与华氏温度之间的转换公式中，某些部分也体现了正比例关系。
五、正比例函数与一次函数的区别
虽然正比例函数是一次函数的一个特例，但两者并不完全相同。
| 特征 | 正比例函数| 一次函数|
|--------------|-------------------------|---------------------------|
| 表达式 | $ y = kx $| $ y = kx + b $|
| 是否过原点 | 是| 不一定，当 $ b=0 $ 时才过原点 |
| 比例系数 | 有| 有|
| 截距 | 无（即 $ b=0 $） | 可能存在（$ b \neq 0 $） |
六、课堂练习
1. 判断下列哪些是正比例函数，并说明理由。
- $ y = 3x $
- $ y = 2x + 1 $
- $ y = -4x $
- $ y = 5 $
2. 已知某正比例函数的图像经过点 (2, 6)，求它的表达式。
3. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，写出它行驶路程 $ s $ 与时间 $ t $ 的关系式，并画出图像。
七、总结
- 正比例函数的形式是 $ y = kx $；
- 它的图像是经过原点的直线；
- 比例系数 $ k $ 决定了函数的增减性和图像的倾斜程度；
- 正比例函数在生活中应用广泛，如速度、价格、温度等；
- 正比例函数是一次函数的一个特例。
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