在几何学中，平行线是两条永不相交的直线，它们之间的关系在数学和物理领域都有着广泛的应用。当涉及到平行线时，一个重要的概念就是平行线间的距离。这个距离定义为从一条平行线到另一条平行线的最短路径长度。在二维平面上，这一距离可以通过简单的公式来计算。

假设我们有两条平行线，其方程分别为 \(Ax + By + C_1 = 0\) 和 \(Ax + By + C_2 = 0\)。这两条直线具有相同的斜率（即A和B的比值相同），因此它们是平行的。平行线间的距离 \(d\) 可以通过以下公式计算：

\[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

这个公式的推导基于点到直线的距离公式。具体来说，从任意一点到一条直线的距离可以表示为该点与直线上最近点之间的距离。由于平行线之间的距离处处相等，我们可以选择其中一条直线上的一点，并计算它到另一条直线的距离。

例如，考虑两条平行线 \(3x + 4y + 5 = 0\) 和 \(3x + 4y + 15 = 0\)。这里，\(A = 3\)，\(B = 4\)，\(C_1 = 5\)，以及 \(C_2 = 15\)。将这些值代入上述公式，我们得到：

\[ d = \frac{|15 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{10}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2 \]

因此，这两条平行线之间的距离为2个单位长度。

了解平行线间的距离公式不仅有助于解决几何问题，还可以应用于物理学中的力场分析、经济学中的成本效益分析等多个领域。掌握这一基本工具能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。