在数学中，三角函数是研究周期现象的重要工具之一，广泛应用于物理、工程及日常生活中。然而，要准确理解和运用三角函数，掌握其定义域和值域的求解方法至关重要。本文将从基本概念出发，结合实例详细探讨如何求解三角函数的定义域与值域。

一、三角函数的基本概念

三角函数主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等。它们分别定义如下：

- 正弦函数：对于任意角度θ，sin(θ)表示直角三角形中对边与斜边的比值。

- 余弦函数：同样地，cos(θ)表示邻边与斜边的比值。

- 正切函数：tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)，当cos(θ) ≠ 0时有效。

这些函数具有特定的周期性和范围，因此在实际应用中需要明确其定义域和值域。

二、定义域的确定

定义域是指使函数有意义的所有自变量取值集合。对于三角函数而言，主要需注意以下几点：

1. 分母不为零：如正切函数tan(x)，由于其分母为cos(x)，所以必须保证cos(x) ≠ 0。这意味着x不能取π/2 + kπ (k∈Z) 的值。

2. 平方根内非负：如果函数中含有平方根表达式，则被开方数必须大于或等于零。例如，若函数形式为√f(x)，则需确保f(x)≥0。

3. 其他限制条件：根据具体问题的不同，可能还会存在额外的约束条件。

三、值域的分析

值域是指函数所能达到的所有输出值的集合。对于常见的三角函数，其值域通常如下：

- 正弦函数：[-1, 1]

- 余弦函数：[-1, 1]

- 正切函数：(-∞, +∞)

值得注意的是，尽管正弦和余弦函数的值域固定，但它们的具体取值会随着输入角度的变化而变化。而对于正切函数，由于其周期性特点，值域覆盖整个实数集。

四、实例解析

为了更好地理解上述理论，我们来看几个具体的例子：

例题1：求函数y=sin(x)+cos(x)的定义域和值域。

解答：

- 定义域：因为正弦和余弦函数均在整个实数范围内有定义，所以该函数的定义域为全体实数R。

- 值域：通过辅助角公式可得，y=√2sin(x+π/4)，因此其最大值为√2，最小值为-√2，故值域为[-√2, √2]。

例题2：求函数y=tan(x)-cot(x)的定义域和值域。

解答：

- 定义域：由tan(x)和cot(x)的定义可知，x≠kπ/2 (k∈Z)。

- 值域：通过化简可得y=2/sin(2x)，由此可以看出，当sin(2x)接近于零时，y趋于无穷大或无穷小，因此值域为(-∞, +∞)。

五、总结

通过以上分析可以看出，求解三角函数的定义域和值域不仅涉及对函数本身的深入理解，还需要灵活运用代数技巧和几何直观。希望本文能帮助读者建立起清晰的认识，并在实际问题解决过程中提供有益指导。