在数学分析中，Stolz定理是一个非常实用的工具，主要用于解决数列极限的问题。它类似于洛必达法则在函数极限中的应用，但专门针对离散情况下的数列极限问题。
定理表述
假设我们有两个数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\)，其中 \(b_n\) 是严格递增且趋于无穷大的数列（即 \(b_{n+1} > b_n\) 且 \(\lim_{n \to \infty} b_n = +\infty\)）。如果以下条件成立：
1. 数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 满足 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L\) （\(L\) 可以为有限值、正无穷或负无穷）；
2. 数列 \(\{b_n\}\) 的分母差值 \(b_{n+1} - b_n > 0\) 对所有 \(n\) 成立；
那么可以得出：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L
\]
定理的核心思想
这个定理的本质是将一个复杂的数列极限问题转化为两个简单数列之间的差商比值问题。通过观察分子和分母的变化趋势，可以更方便地判断整个数列的极限行为。
应用实例
示例 1
设数列 \(\{a_n\} = n^2\) 和 \(\{b_n\} = n\)，显然 \(b_n\) 是严格递增且趋于无穷大的数列。我们计算：
\[
\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{(n+1) - n} = \frac{2n + 1}{1} = 2n + 1
\]
当 \(n \to \infty\) 时，该表达式趋于无穷大。因此，根据 Stolz 定理：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n} = \infty
\]
示例 2
设数列 \(\{a_n\} = n^3 - n\) 和 \(\{b_n\} = n^2\)，同样 \(b_n\) 是严格递增且趋于无穷大的数列。我们计算：
\[
\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \frac{(n+1)^3 - (n+1) - (n^3 - n)}{(n+1)^2 - n^2}
\]
展开并化简后得到：
\[
\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \frac{3n^2 + 3n}{2n + 1}
\]
当 \(n \to \infty\) 时，该表达式的极限为：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 3n}{2n + 1} = \frac{3}{2}
\]
因此，根据 Stolz 定理：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{3}{2}
\]
总结
Stolz 定理提供了一种有效的方法来处理某些复杂数列极限问题，特别是在无法直接求解的情况下。它通过将问题分解为更简单的形式，使极限的求解变得更加直观和可行。熟练掌握这一工具，对于深入学习数学分析具有重要意义。
希望以上内容能帮助你更好地理解 Stolz 定理及其应用！
