在数学分析中，函数的性质是研究的重点之一。其中，全微分和连续性是两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的联系。本文将探讨全微分与连续性之间的关系。

首先，我们需要明确什么是全微分。对于一个多元函数f(x, y)，如果存在一个线性变换L使得当自变量的增量Δx和Δy趋于零时，函数值的增量Δf可以表示为：

Δf = L(Δx, Δy) + o(√((Δx)^2 + (Δy)^2))

其中，o(√((Δx)^2 + (Δy)^2))表示比√((Δx)^2 + (Δy)^2)更高阶的无穷小量，则称f(x, y)在点(x, y)处可全微分，并称L为f(x, y)在该点的全微分。

接下来我们来看连续性。函数f(x, y)在点(x, y)处连续意味着当自变量的增量趋于零时，函数值的增量也趋于零。即：

lim [(Δx, Δy)→(0, 0)] |Δf| = 0

现在让我们来讨论两者之间的关系。如果一个函数f(x, y)在某一点可全微分，那么它在这个点一定是连续的。这是因为全微分的存在意味着函数值的变化可以被线性部分和高阶无穷小部分很好地近似，而高阶无穷小部分会随着自变量的增量趋于零而消失，从而保证了函数值的变化最终趋于零。

然而，反过来并不成立。也就是说，一个函数在某一点连续并不能保证它在这个点可全微分。这是因为即使函数值的变化趋于零，也不能保证这种变化可以用线性部分准确地描述。

举个例子，考虑函数f(x, y) = |xy|^(1/3)。这个函数在原点(0, 0)处连续，因为当自变量的增量趋于零时，函数值的变化确实趋于零。但是，这个函数在原点不可全微分，因为在原点附近，函数值的变化不能用线性变换很好地近似。

综上所述，全微分与连续性之间的关系可以概括为：全微分是连续性的一个更强的条件。换句话说，全微分一定意味着连续性，但连续性不一定意味着全微分。这一结论对于理解和应用多元函数的性质具有重要意义。