在科学研究和实际应用中，概率论与数理统计作为数学的重要分支，为分析不确定性和处理随机现象提供了强有力的工具。无论是金融投资、数据分析还是工程设计，这些领域都离不开概率论与数理统计的支持。本文将整理并总结这一学科中的核心公式，以帮助读者更好地理解和运用相关知识。

概率基础公式

1. 概率的基本性质

- 非负性：\( P(A) \geq 0 \)

- 规范性：\( P(\Omega) = 1 \)，其中 \( \Omega \) 表示样本空间。

- 可加性：若事件 \( A_1, A_2, \dots \) 互不相容，则 \( P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \)。

2. 条件概率公式

若 \( P(B) > 0 \)，则

\[

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

\]

其中，\( P(A|B) \) 表示在事件 \( B \) 已发生的条件下，事件 \( A \) 发生的概率。

3. 全概率公式

若 \( B_1, B_2, \dots, B_n \) 是样本空间的一个划分，则

\[

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)

\]

4. 贝叶斯公式

若 \( P(B) > 0 \)，则

\[

P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{\sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)}

\]

随机变量及其分布

1. 离散型随机变量的期望

若 \( X \) 是离散型随机变量，其可能取值为 \( x_1, x_2, \dots \)，对应的概率为 \( p_1, p_2, \dots \)，则

\[

E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i

\]

2. 连续型随机变量的期望

若 \( X \) 是连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，则

\[

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

\]

3. 方差公式

对于任意随机变量 \( X \)，其方差定义为

\[

D(X) = E[(X - E(X))^2]

\]

或等价地

\[

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

\]

4. 正态分布的密度函数

若 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，则其概率密度函数为

\[

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

\]

数理统计基础

1. 样本均值公式

若 \( X_1, X_2, \dots, X_n \) 是来自总体 \( X \) 的独立同分布样本，则样本均值为

\[

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i

\]

2. 样本方差公式

样本方差为

\[

S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2

\]

3. 中心极限定理

若 \( X_1, X_2, \dots, X_n \) 独立同分布且具有有限均值 \( \mu \) 和方差 \( \sigma^2 \)，当 \( n \to \infty \) 时，

\[

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)

\]

4. 假设检验中的显著性水平

假设检验中，显著性水平 \( \alpha \) 表示拒绝原假设的概率，通常设定为 \( \alpha = 0.05 \) 或 \( \alpha = 0.01 \)。

以上公式涵盖了概率论与数理统计的核心内容，是学习和研究该领域的基础工具。通过熟练掌握这些公式，可以更高效地解决实际问题，并为进一步的研究奠定坚实的基础。希望本文能为读者提供实用的帮助！